14. Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 16 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию, где первый член \( a_1 \) — расстояние, пройденное за первую секунду, а разность \( d \) — уменьшение расстояния каждую следующую секунду.

Дано:

• Первая секунда: \( a_1 = 16 \) м.
• Разность прогрессии: \( d = -4 \) м (так как проезжал на 4 м меньше).

Нужно найти общее расстояние до остановки, то есть сумму членов арифметической прогрессии. Чтобы узнать, сколько всего секунд тормозил автомобиль, нужно найти, когда расстояние, проходимое за секунду, станет неположительным.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Ищем \( n \), когда \( a_n \) станет <= 0.

\( 16 + (n-1)(-4) \le 0 \)

\( 16 - 4n + 4 \le 0 \)

\( 20 - 4n \le 0 \)

\( 20 \le 4n \)

\( n \ge 5 \).

Значит, автомобиль тормозил 5 секунд. В пятую секунду он проехал \( a_5 = 16 + (5-1)(-4) = 16 - 16 = 0 \) м.

Теперь найдём сумму первых 5 членов прогрессии по формуле: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).

\( S_5 = \frac{16 + 0}{2} \cdot 5 \)

\( S_5 = \frac{16}{2} \cdot 5 \)

\( S_5 = 8 \cdot 5 \)

\( S_5 = 40 \) м.

Ответ: 40.