8. Найдите значение выражения $$ \frac{a^{23} \cdot (b^5)^4}{(a \cdot b)^{20}} \text{ при } a = 2 \text{ и } b = \sqrt{2}. $$

Решение:

1. Упростим выражение: \[ \frac{a^{23} \cdot (b^5)^4}{(a \cdot b)^{20}} = \frac{a^{23} \cdot b^{5 \cdot 4}}{a^{20} \cdot b^{20}} = \frac{a^{23} \cdot b^{20}}{a^{20} \cdot b^{20}} = a^{23-20} \cdot b^{20-20} = a^3 \cdot b^0 = a^3 \cdot 1 = a^3 \]
2. Подставим заданные значения \( a=2 \) и \( b=\sqrt{2} \).
3. Так как выражение упростилось до \( a^3 \), значение выражения равно: \[ 2^3 = 8 \]

Ответ: 8