8. Найдите значение выражения 4√5 · 3√27 · √15.

Решение:

1. Объединим все под один корень, учитывая множители перед корнями:
• √(4² * 5) * √(3² * 27) * √15
• √(16 * 5) * √(9 * 27) * √15
• √80 * √243 * √15
2. Умножим подкоренные выражения:
• √(80 * 243 * 15)
• √(19440 * 15)
• √(291600)
3. Найдем квадратный корень из 291600.
• √291600 = √(2916 * 100) = √2916 * √100 = √2916 * 10
• Найдем √2916. Можно заметить, что 50² = 2500 и 60² = 3600. Число заканчивается на 6, значит, корень может заканчиваться на 4 или 6. Попробуем 54.
• 54 * 54 = 2916.
• Значит, √2916 = 54.
• Тогда √291600 = 54 * 10 = 540.
4. Альтернативный способ:
• 4√5 · 3√27 · √15 = 4√5 · 3√(9*3) · √(5*3)
• = 4√5 · 3 * 3√3 · √5√3
• = 4√5 · 9√3 · √5√3
• = 4 * 9 * (√5 * √5) * (√3 * √3)
• = 36 * 5 * 3
• = 36 * 15
• = 540

Ответ: 540