№8. Найдите точку, симметричную точке А (5; 3) относительно точки В (3; 1).

Для нахождения точки, симметричной точке А относительно точки В, мы можем использовать свойство, что точка В является серединой отрезка, соединяющего А и искомую точку (назовем ее А').

Пусть координаты точки А будут egin{(\(x_A, y_A\))} ext{, а координаты точки В - egin{(\(x_B, y_B\))} ext{, и искомой точки А' - egin{(\(x_{A'}, y_{A'}\))} ext{.}

Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:

\[ x_B = \frac{x_A + x_{A'}}{2} \]

\[ y_B = \frac{y_A + y_{A'}}{2} \]

Подставим известные значения:

Для x-координаты:

\[ 3 = \frac{5 + x_{A'}}{2} \]

Умножим обе части на 2:

\[ 6 = 5 + x_{A'} \]

Найдем egin{(\(x_{A'}\))} ext{:}

\[ x_{A'} = 6 - 5 \]

\[ x_{A'} = 1 \]

Для y-координаты:

\[ 1 = \frac{3 + y_{A'}}{2} \]

Умножим обе части на 2:

\[ 2 = 3 + y_{A'} \]

Найдем egin{(\(y_{A'}\))} ext{:}

\[ y_{A'} = 2 - 3 \]

\[ y_{A'} = -1 \]

Итак, координаты симметричной точки А' равны (1; -1).

Ответ: Точка, симметричная точке А (5; 3) относительно точки В (3; 1), имеет координаты (1; -1).