8.Игральный кубик бросают трижды. Известно, что в сумме выпало 8 очков, а в первом броске не выпала 1. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3.

Решение:

Обозначим результаты трех бросков как \( x_1, x_2, x_3 \). Известно, что \( x_1 + x_2 + x_3 = 8 \) и \( x_1 \neq 1 \).

Рассмотрим все возможные комбинации трех бросков, сумма которых равна 8, и где \( x_1 \neq 1 \) (то есть \( x_1 ∈ \{2, 3, 4, 5, 6} \)):

• Если \( x_1 = 2 \): \( x_2 + x_3 = 6 \). Возможные пары \( (x_2, x_3) \): (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1).
• Если \( x_1 = 3 \): \( x_2 + x_3 = 5 \). Возможные пары \( (x_2, x_3) \): (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1).
• Если \( x_1 = 4 \): \( x_2 + x_3 = 4 \). Возможные пары \( (x_2, x_3) \): (1, 3), (2, 2), (3, 1).
• Если \( x_1 = 5 \): \( x_2 + x_3 = 3 \). Возможные пары \( (x_2, x_3) \): (1, 2), (2, 1).
• Если \( x_1 = 6 \): \( x_2 + x_3 = 2 \). Возможная пара \( (x_2, x_3) \): (1, 1).

Всего таких комбинаций (исходов), где \( x_1 + x_2 + x_3 = 8 \) и \( x_1 \neq 1 \):

• \( x_1 = 2 \): 5 исходов.
• \( x_1 = 3 \): 4 исхода.
• \( x_1 = 4 \): 3 исхода.
• \( x_1 = 5 \): 2 исхода.
• \( x_1 = 6 \): 1 исход.

Общее число таких исходов = \( 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 \).

Теперь найдем, в скольких из этих исходов \( x_2 = 3 \). Это происходит в следующих случаях:

• Если \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 3 \), то \( x_3 = 3 \). Комбинация: (2, 3, 3).
• Если \( x_1 = 3 \), \( x_2 = 3 \), то \( x_3 = 2 \). Комбинация: (3, 3, 2).
• Если \( x_1 = 4 \), \( x_2 = 3 \), то \( x_3 = 1 \). Комбинация: (4, 3, 1).
• Если \( x_1 = 5 \), \( x_2 = 3 \), то \( x_3 = 0 \) (невозможно).
• Если \( x_1 = 6 \), \( x_2 = 3 \), то \( x_3 = -1 \) (невозможно).

Всего 3 исхода, где \( x_2 = 3 \) при заданных условиях.

Условная вероятность того, что во второй раз выпало 3, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\[ P(x_2 = 3  |  x_1+x_2+x_3=8, x_1 ≠ 1) = \frac{\text{Число исходов, где } x_2=3}{\text{Общее число исходов}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \]

Ответ: \( \frac{1}{5} \)