797. Докажите, что если b + c = 10, то (10a + b)(10a + c) = 100a (a + 1) + bc. Воспользовавшись этой формулой, вычислите: a) 23 · 27; б) 42 · 48; в) 59 · 51; г)

Решение:

Доказательство:

Рассмотрим левую часть равенства:

\( (10a + b)(10a + c) = 100a^2 + 10ac + 10ab + bc \)

\( = 100a^2 + 10a(b + c) + bc \)

По условию \( b + c = 10 \). Подставим это значение:

\( 100a^2 + 10a(10) + bc = 100a^2 + 100a + bc \)

\( = 100a(a + 1) + bc \)

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Вычисление:

a) 23 · 27

Представим \( 23 \) как \( 25 - 2 \) и \( 27 \) как \( 25 + 2 \). Здесь \( a = 25 \) и \( b = -2, c = 2 \), но проще использовать \( 10a+b \) и \( 10a+c \).

Если \( 10a + b = 23 \) и \( 10a + c = 27 \), то \( b+c = 23+27 - 2 · 10a \), что не подходит.

Воспользуемся формулой в другом виде: \( x · y = (x+y)/2 \) · 2 + \( (x-y)/2 \) · 2

Удобнее представить как \( (X-k)(X+k) \) или \( (X+k)(Y+k) \).

Для \( 23 · 27 \): пусть \( 10a = 25 \) (т.е. \( a = 2.5 \)). Тогда \( b = 23 - 25 = -2 \) и \( c = 27 - 25 = 2 \). \( b + c = -2 + 2 = 0 \), что не равно 10.

Другой подход: \( 23 · 27 = (25 - 2)(25 + 2) = 25^2 - 2^2 = 625 - 4 = 621 \).

Чтобы применить формулу \( (10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc \) где \( b+c=10 \):

a) 23 · 27

Пусть \( 10a + b = 23 \) и \( 10a + c = 27 \). Сумма \( b+c \) должна быть 10. Среднее арифметическое \( (23+27)/2 = 25 \). Пусть \( 10a = 25 \), т.е. \( a=2.5 \). Тогда \( b = 23 - 25 = -2 \) и \( c = 27 - 25 = 2 \). \( b+c = -2+2=0 \). Не подходит.

Рассмотрим \( 23 = 10a + b \) и \( 27 = 10a + c \). Можно взять \( 10a = 20 \) (т.е. \( a=2 \)). Тогда \( b = 23 - 20 = 3 \) и \( c = 27 - 20 = 7 \). \( b + c = 3 + 7 = 10 \). Подходит!

\( 23 · 27 = 100 · 2 (2 + 1) + 3 · 7 = 100 · 2 · 3 + 21 = 600 + 21 = 621 \)

б) 42 · 48

Пусть \( 10a = 40 \) (т.е. \( a=4 \)). Тогда \( b = 42 - 40 = 2 \) и \( c = 48 - 40 = 8 \). \( b + c = 2 + 8 = 10 \). Подходит!

\( 42 · 48 = 100 · 4 (4 + 1) + 2 · 8 = 100 · 4 · 5 + 16 = 2000 + 16 = 2016 \)

в) 59 · 51

Пусть \( 10a = 50 \) (т.е. \( a=5 \)). Тогда \( b = 59 - 50 = 9 \) и \( c = 51 - 50 = 1 \). \( b + c = 9 + 1 = 10 \). Подходит!

\( 59 · 51 = 100 · 5 (5 + 1) + 9 · 1 = 100 · 5 · 6 + 9 = 3000 + 9 = 3009 \)

г) (Не указано числовое выражение)

Ответ: a) 621; б) 2016; в) 3009.