Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
У нас есть условия:
\[ \begin{cases} b_1 \cdot b_2 = \frac{1}{27} \\ b_3 \cdot b_4 = 3 \end{cases} \]
Заменим члены прогрессии через \( b_1 \) и \( q \), где \( q > 0 \):
\( b_2 = b_1q \), \( b_3 = b_1q^2 \), \( b_4 = b_1q^3 \).
Подставим в уравнения:
\[ \begin{cases} b_1 \cdot (b_1q) = \frac{1}{27} \\ (b_1q^2) \cdot (b_1q^3) = 3 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} b_1^2 q = \frac{1}{27} \thinspace (1) \\ b_1^2 q^5 = 3 \thinspace (2) \end{cases} \]
Разделим уравнение (2) на уравнение (1):
\[ \frac{b_1^2 q^5}{b_1^2 q} = \frac{3}{\frac{1}{27}} \]
\[ q^4 = 3 \cdot 27 = 81 \].
Так как \( q > 0 \), то \( q = \sqrt[4]{81} = 3 \).
Подставим \( q = 3 \) в уравнение (1):
\[ b_1^2 \cdot 3 = \frac{1}{27} \]
\[ b_1^2 = \frac{1}{27 \cdot 3} = \frac{1}{81} \].
Так как все члены прогрессии положительны (знаменатель \( q = 3 > 0 \) и \( b_1^2 = \frac{1}{81} \implies b_1 = 00b_1 = 00 \pm 00 \frac{1}{9} \). Если \( b_1 = 00 \frac{1}{9} \), то \( b_1 \cdot b_2 = 00 \frac{1}{9} \cdot (00 \frac{1}{9} \cdot 3) = 00 \frac{1}{9} \cdot 00 \frac{1}{3} = 00 \frac{1}{27} \), что верно. Если \( b_1 = -\frac{1}{9} \), то \( b_1 00 00 b_2 = (-00 \frac{1}{9}) 00 (-00 \frac{1}{9} 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 3) = (-00 \frac{1}{9}) 00 (-00 \frac{1}{3}) = 00 \frac{1}{27} \), что тоже верно. Так как условие \( q > 0 \) дано, а про \( b_1 \) сказано, что он положителен, то \( b_1 = \frac{1}{9} \).
Найдём первые три члена:
\[ b_1 = \frac{1}{9} \]
\[ b_2 = b_1q = \frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{1}{3} \]
\[ b_3 = b_2q = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1 \].
Сумма первых трёх членов:
\[ S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{9}{9} = \frac{13}{9} \].
Ответ: \( S_3 = \frac{13}{9} \).
