794. Последовательность (b_n) — геометрическая прогрессия. Найдите первые три члена этой прогрессии, если известно, что b_1 + b_2 = 30, а b_2 + b_3 = 20.

Решение:

У нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} b_1 + b_2 = 30 \\ b_2 + b_3 = 20 \end{cases} \]

Заменим \( b_2 \) и \( b_3 \) через \( b_1 \) и \( q \): \( b_2 = b_1 \cdot q \) и \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \).

Система примет вид:

\[ \begin{cases} b_1 + b_1q = 30 \\ b_1q + b_1q^2 = 20 \end{cases} \]

Вынесем общие множители:

\[ \begin{cases} b_1(1 + q) = 30 \thinspace (1) \\ b_1q(1 + q) = 20 \thinspace (2) \end{cases} \]

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

\[ \frac{b_1q(1 + q)}{b_1(1 + q)} = \frac{20}{30} \]

\[ q = \frac{2}{3} \].

Подставим \( q = \frac{2}{3} \) в уравнение (1):

\[ b_1\left(1 + \frac{2}{3}\right) = 30 \]

\[ b_1\left(\frac{3}{3} + \frac{2}{3}\right) = 30 \]

\[ b_1\left(\frac{5}{3}\right) = 30 \]

\[ b_1 = 30 \cdot \frac{3}{5} = 6 \cdot 3 = 18 \].

Теперь найдём \( b_2 \) и \( b_3 \):

\[ b_2 = b_1q = 18 \cdot \frac{2}{3} = 6 \cdot 2 = 12 \].

\[ b_3 = b_2q = 12 \cdot \frac{2}{3} = 4 \cdot 2 = 8 \].

Проверим второе уравнение: \( b_2 + b_3 = 12 + 8 = 20 \). Верно.

Первые три члена прогрессии: \( 18, 12, 8 \).

Ответ: 18, 12, 8.