774. От пристани А отошёл теплоход со скоростью 40 км/ч. Через $$1\frac{1}{4}$$ ч вслед за ним отошёл другой теплоход со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после своего отправления и на каком расстоянии от А второй теплоход догонит первый?

Постановка задачи:

В этой задаче нам предстоит определить, через какое время второй теплоход, двигаясь быстрее первого, догонит его, и на каком расстоянии от стартовой точки это произойдет. Известны скорости обоих теплоходов и временной интервал между их отправлениями.

Метод решения:

Мы будем использовать принцип относительного движения или составим уравнения движения для каждого теплохода. Пусть $$t$$ — время, которое пройдет с момента отправления второго теплохода до момента, когда он догонит первый. За это время первый теплоход пройдет большее расстояние, так как он стартовал раньше. Разница в пройденных расстояниях будет равна начальному преимуществу первого теплохода.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Перевод времени в часы
   $$1\frac{1}{4}$$ часа = $$1,25$$ часа.
2. Шаг 2: Расчет начального расстояния первого теплохода
   Первый теплоход отправился на 1,25 часа раньше. За это время он прошел:
   Расстояние = скорость $$\times$$ время.
   Расстояние = $$40 ext{ км/ч} \times 1,25 ext{ ч} = 50$$ км.
3. Шаг 3: Обозначение времени до встречи
   Пусть $$t$$ — время (в часах) после отправления второго теплохода, когда он догонит первый.
4. Шаг 4: Составление уравнений движения
   За время $$t$$, второй теплоход пройдет расстояние: $$60t$$ км.
   За это же время (то есть за $$t + 1,25$$ часа от старта первого), первый теплоход пройдет расстояние: $$40(t + 1,25)$$ км.
5. Шаг 5: Приравнивание расстояний
   Когда второй теплоход догонит первый, они будут на одинаковом расстоянии от пристани А. Следовательно:
   $$60t = 40(t + 1,25)$$.
6. Шаг 6: Решение уравнения
   Раскроем скобки:
   $$60t = 40t + 40 imes 1,25$$.
   $$60t = 40t + 50$$.
   Перенесем члены с $$t$$ в одну сторону:
   $$60t - 40t = 50$$.
   $$20t = 50$$.
   Найдем $$t$$: $$t = \frac{50}{20} = 2,5$$ часа.
7. Шаг 7: Расчет расстояния от А
   Теперь найдем расстояние, которое прошел второй теплоход за 2,5 часа:
   Расстояние = $$60 ext{ км/ч} \times 2,5 ext{ ч} = 150$$ км.

Ответ: Второй теплоход догонит первый через 2,5 часа после своего отправления на расстоянии 150 км от пристани А.