7. В торговом центре установлены два кофейных автомата. Вероятность того, что в первом автомате кофе, равна 0,21. То же самое верно и для второго. А вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,09. Найдите вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

Пусть A — событие, что в первом автомате есть кофе. Тогда \( P(A) = 0.21 \).

Пусть B — событие, что во втором автомате есть кофе. Тогда \( P(B) = 0.21 \).

Пусть \( \bar{A} \) — событие, что в первом автомате кофе закончился. \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.21 = 0.79 \).

Пусть \( \bar{B} \) — событие, что во втором автомате кофе закончился. \( P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.21 = 0.79 \).

Дано, что вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,09. Это означает \( P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0.09 \).

Нам нужно найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, то есть \( P(A \cap B) \).

По теореме де Моргана, \( \bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cap B} \).

Вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате: \( P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\bar{A}) + P(\bar{B}) - P(\bar{A} \cap \bar{B}) \).

\( P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0.79 + 0.79 - 0.09 = 1.58 - 0.09 = 1.49 \). Это невозможно, так как вероятность не может быть больше 1.

Перечитаем условие: \( P(A) = 0.21 \) (вероятность, что кофе есть), \( P(B) = 0.21 \) (вероятность, что кофе есть). \( P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0.09 \) (вероятность, что кофе закончится в обоих).

Нам нужно найти \( P(A \cap B) \).

Используем формулу: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \).

Также \( P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\( \overline{A \cup B} \)) = 1 - P\(A \cup B\) \).

Из этого следует: \( P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.09 = 0.91 \).

Теперь подставим в формулу \( P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) \):

\( 0.91 = 0.21 + 0.21 - P(A \cap B) \)

\( 0.91 = 0.42 - P(A \cap B) \)

\( P(A \cap B) = 0.42 - 0.91 = -0.49 \). Опять отрицательная вероятность, что некорректно.

Давайте переформулируем условие: Вероятность того, что в первом автомате *есть* кофе, равна 0.21. Это означает, что вероятность того, что кофе *закончился* в первом автомате, равна \( 1 - 0.21 = 0.79 \).

Пусть A — событие, что кофе есть в 1-м автомате. \( P(A) = 0.21 \).

Пусть B — событие, что кофе есть во 2-м автомате. \( P(B) = 0.21 \).

\( P(\text{кофе закончится в обоих}) = P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0.09 \).

Мы хотим найти \( P(\text{кофе останется в обоих}) = P(A \cap B) \).

Используем свойство вероятностей: \( P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) \) (вероятность того, что кофе есть хотя бы в одном автомате).

\( P(A \cup B) = 1 - 0.09 = 0.91 \).

Теперь используем формулу сложения вероятностей: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \).

\( 0.91 = 0.21 + 0.21 - P(A \cap B) \).

\( 0.91 = 0.42 - P(A \cap B) \).

\( P(A \cap B) = 0.42 - 0.91 = -0.49 \). По-прежнему отрицательная вероятность.

Возможно, в условии задачи опечатка. Предположим, что 0.21 — это вероятность того, что кофе *закончится* в первом автомате, и аналогично для второго. Тогда:

Пусть \( \bar{A} \) — событие, что в первом автомате кофе закончился. \( P(\bar{A}) = 0.21 \).

Пусть \( \bar{B} \) — событие, что во втором автомате кофе закончился. \( P(\bar{B}) = 0.21 \).

Дано, что \( P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0.09 \).

Мы хотим найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах. Это событие обратно событию, что кофе закончится хотя бы в одном автомате \( (\bar{A} \cup \bar{B}) \).

\( P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\bar{A}) + P(\bar{B}) - P(\bar{A} \cap \bar{B}) \).

\( P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0.21 + 0.21 - 0.09 = 0.42 - 0.09 = 0.33 \).

Вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, равна \( P(A \cap B) = 1 - P(\bar{A} \cup \bar{B}) \).

\( P(A \cap B) = 1 - 0.33 = 0.67 \).

Ответ: 0.67