7. В ромбе ABCD диагональ AC пересекает высоту BH, проведенную к стороне AD, в точке K. Найдите длины отрезков BK и KH, если сторона ромба равна 20 см, а угол DAB равен 60 градусов.

Решение:

В ромбе ABCD сторона равна \( AB = AD = 20 \text{ см} \). Угол \(\angle DAB = 60^\circ \).

Так как \( ABCD \) — ромб, то \( AB – AD \) и \( AB = AD \). Следовательно, треугольник \( ABD \) — равнобедренный.

Поскольку \(\angle DAB = 60^\circ \), то треугольник \( ABD \) является равносторонним. Значит, \( AB = AD = BD = 20 \text{ см} \).

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам. Также диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Высота \( BH \) проведена к стороне \( AD \).

Рассмотрим треугольник \( ABH \). \(\angle AHB = 90^\circ \) (так как \( BH \) — высота), \( AB = 20 \text{ см} \), \(\angle BAH = 60^\circ \).

Найдем длину высоты \( BH \):

\[ BH = AB \sin(\angle BAH) = 20 \text{ см} \times \sin(60^\circ) = 20 \text{ см} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ см} \]

Найдем длину отрезка \( AH \):

\[ AH = AB \cos(\angle BAH) = 20 \text{ см} \times \cos(60^\circ) = 20 \text{ см} \times \frac{1}{2} = 10 \text{ см} \]

Диагональ \( AC \) является биссектрисой угла \( \angle DAB \), значит, \(\angle KAB = \frac{1}{2} \angle DAB = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ \).

Рассмотрим треугольник \( ABK \). \(\angle AKB = 90^\circ \) (так как \( AC \perp BH \)). \( AB = 20 \text{ см} \), \(\angle KAB = 30^\circ \).

Найдем длину отрезка \( BK \):

\[ BK = AB \sin(\angle KAB) = 20 \text{ см} \times \sin(30^\circ) = 20 \text{ см} \times \frac{1}{2} = 10 \text{ см} \]

Найдем длину отрезка \( KH \):

\[ KH = BH - BK = 10\sqrt{3} \text{ см} - 10 \text{ см} = 10(\sqrt{3} - 1) \text{ см} \]

Ответ: BK = 10 см, KH = 10(√3 - 1) см.