7. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ BD равна 18, а угол А равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 12√2 запишите решение и ответ.

1. В прямоугольной трапеции ABCD, ∠A = ∠D = 90°. Так как ∠A = 45°, то это прямоугольная трапеция с углом 45°. Проведем высоту CH из C на AD. Тогда ABCH - прямоугольник, BC = AH, AB = CH.
2. В прямоугольном треугольнике BCD, ∠CBD = 90° - ∠BDC. В прямоугольном треугольнике ABD, ∠ADB = 90° - ∠ABD.
3. В прямоугольном треугольнике BCD, ∠BCD = 90°. Угол ∠BDC = 45°, так как AD || BC, ∠ADB = ∠CBD (накрест лежащие). В прямоугольном треугольнике ABD, ∠A = 90°, ∠ADB = 45°, значит ∠ABD = 45°. Следовательно, треугольник ABD равнобедренный с AD = AB.
4. В прямоугольном треугольнике BCD, ∠C = 90°, ∠BDC = 45°, значит ∠CBD = 45°. Следовательно, треугольник BCD равнобедренный с BC = CD.
5. Так как AD = AB и BC = CD, и AD || BC, то ABCD - равнобедренная трапеция. Но в условии сказано, что трапеция прямоугольная. Это противоречие. Предположим, что угол при основании AD равен 45°, а углы при основании BC - тупые. Тогда ∠A = 90°, ∠D = 90°. Проведем высоту BH из B на AD. Тогда ABCH - прямоугольник, BC = AH, AB = CH. В прямоугольном треугольнике BHD, ∠D = 90°, ∠BDH = 45°, значит ∠HBD = 45°. Следовательно, треугольник BHD равнобедренный с BH = HD. AD = AH + HD = BC + BH. Так как AB = CH = BH, то AD = BC + AB. Диагональ BD = 18. В прямоугольном треугольнике BHD, BH^2 + HD^2 = BD^2. 2BH^2 = 18^2. BH^2 = 18^2 / 2 = 324 / 2 = 162. BH = √162 = 9√2. AB = 9√2. AD = BC + AB. BC = 12√2. AD = 12√2 + 9√2 = 21√2. Большая боковая сторона - AD = 21√2.