5. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 6.

1. Так как AM и DM биссектрисы углов A и D, то ∠AMB = ∠AMD = 90°. Следовательно, треугольники ABM и DCM прямоугольные.
2. В параллелограмме ABCD, AD || BC, значит ∠DAM = ∠AMB (как накрест лежащие). Так как AM - биссектриса, ∠DAM = ∠MAB. Следовательно, ∠AMB = ∠MAB, и треугольник ABM равнобедренный с AB = BM.
3. Аналогично, ∠ADM = ∠DMC (накрест лежащие), ∠ADM = ∠MDC (DM - биссектриса), следовательно ∠DMC = ∠MDC, и треугольник DCM равнобедренный с DC = MC.
4. Так как ABCD - параллелограмм, AB = DC и AD = BC. Также BM = AB и MC = DC, значит BC = BM + MC = AB + DC = 2AB.
5. Периметр параллелограмма P = 2(AB + BC) = 2(AB + 2AB) = 6AB. При AB = 6, P = 6 * 6 = 36.