7*. В окружности радиуса 10 см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 5 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности.

Пусть данная окружность имеет центр O и радиус R = 10 см. Точка А находится на расстоянии OA = 5 см от центра O. Пусть вторая окружность имеет центр O' и радиус r. Она касается данной окружности изнутри, значит, расстояние между центрами OO' = R - r.

Вторая окружность касается диаметра в точке А. Это означает, что центр O' лежит на перпендикуляре к диаметру в точке А. Так как диаметр проходит через O, то O' лежит на прямой OA. Следовательно, расстояние от O' до A равно радиусу r, то есть O'A = r.

Точка А лежит на диаметре, и OA = 5 см. Центр O' находится на расстоянии r от А. Возможны два случая: O' лежит между O и A, или A лежит между O и O'.

Случай 1: O' лежит между O и A. Тогда OA = OO' + O'A. 5 = (10 - r) + r. 5 = 10. Это невозможно.

Случай 2: A лежит между O и O'. Тогда OO' = OA + AO'. R - r = OA + r. 10 - r = 5 + r. 10 - 5 = r + r. 5 = 2r. r = 2.5 см.

Ответ: 2.5 см