6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠ DBC = 34°, ∠ ABD=42° и ∠ BDC=52°. Найдите углы четырёхугольника.

Дано: ABCD - вписанный четырехугольник. <DBC = 34°, <ABD = 42°, <BDC = 52°.

Решение:

1. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны: <DAC = <DBC = 34°, <CAD = <CBD = 34° (ошибка в условии, CBD = 34°), <BAC = <BDC = 52°, <BCA = <BDA.

2. <ABC = <ABD + <DBC = 42° + 34° = 76°.

3. <ADC = <ADB + <BDC. В треугольнике BDC: <BCD = 180° - <DBC - <BDC = 180° - 34° - 52° = 94°.

4. Так как ABCD - вписанный четырехугольник, сумма противоположных углов равна 180°.

<ADC = 180° - <ABC = 180° - 76° = 104°.

<BAD = 180° - <BCD = 180° - 94° = 86°.

Проверка: <ADC = <ADB + <BDC. <ADB = <ADC - <BDC = 104° - 52° = 52°.

<BAD = <BAC + <CAD = 52° + 34° = 86°.

Ответ: <ABC = 76°, <BCD = 94°, <ADC = 104°, <BAD = 86°.