7*. В окружности радиуса 10 см проведён диаметр и на нем взята точка А на расстоянии 5 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности.

Решение:

Пусть большая окружность имеет центр O и радиус \( R = 10 \) см. Диаметр — отрезок \( MN \), проходящий через O. Точка A лежит на диаметре MN, на расстоянии 5 см от центра O. То есть \( OA = 5 \) см.

Вторая окружность (меньшая) касается большей окружности изнутри. Пусть её центр — O₁ и радиус — \( r \).

Меньшая окружность касается диаметра MN в точке A. Это означает, что радиус \( O₁A \) перпендикулярен диаметру MN. Так как MN — прямая, \( O₁A \) — это радиус меньшей окружности, \( O₁A = r \).

Центр O₁ лежит на перпендикуляре к диаметру MN в точке A.

Так как меньшая окружность касается большей изнутри, центры O и O₁ и точка касания лежат на одной прямой. Точка касания будет лежать на диаметре MN.

Рассмотрим два случая расположения центра O₁:

Случай 1: Центр O₁ находится между O и A.

Тогда расстояние от O до O₁ равно \( OO₁ = OA - O₁A = 5 - r \).

Но O₁A = r. Значит, \( OO₁ = 5 - r \).

Точка касания меньшей окружности с большей находится на прямой OO₁. Она будет дальше от O, чем O₁, на расстояние r. Эта точка касания будет лежать на диаметре MN.

Расстояние от O до точки касания равно R. Если O₁ лежит между O и A, то точка касания находится по ту же сторону от O, что и A. Тогда \( OO₁ + r = R \) или \( |OO₁| + r = R \).

\( |5 - r| + r = 10 \).

Если \( 5 - r \ge 0 \) (т.е. \( r \le 5 \)), то \( 5 - r + r = 10 \) => \( 5 = 10 \), что невозможно.

Случай 2: Центр O₁ находится по другую сторону от O, чем A, или совпадает с O.

Пусть O₁ находится на прямой MN. Точка A — точка касания меньшей окружности с диаметром. Радиус \( O₁A = r \). Центр O₁ находится на перпендикуляре к MN в точке A.

Так как меньшая окружность касается большей изнутри, то расстояние между центрами \( OO₁ = R - r \).

Точка A лежит на диаметре MN, \( OA = 5 \) см. Центр O₁ находится на перпендикуляре к MN в точке A.

Рассмотрим прямую, проходящую через O и O₁. Эта прямая перпендикулярна MN в точке A. Это возможно только если O₁ совпадает с A, но тогда радиус r=0, что бессмысленно.

Вернемся к условию: «касается диаметра в точке А». Это значит, что линия, проходящая через O₁ и A, перпендикулярна диаметру MN. То есть, O₁ лежит на перпендикуляре к MN в точке A.

«Изнутри касается данной окружности». Точка касания большей и меньшей окружности лежит на одной прямой, проходящей через их центры.

Пусть центр меньшей окружности O₁ лежит на диаметре MN. Точка A лежит на MN. \( OA = 5 \). \( R = 10 \).

Пусть O₁ - центр меньшей окружности, r - её радиус. Окружность касается MN в точке A, значит \( O₁A = r \).

Окружность касается большей окружности изнутри. Точки O, O₁, точка касания лежат на одной прямой. Эта прямая должна быть перпендикулярна MN в точке A, чтобы O₁A было радиусом. Это возможно, если O₁ совпадает с O. Тогда \( OA \) будет радиусом меньшей окружности. Но OA=5, а R=10. Если O₁=O, то r=R=10. Но тогда меньшая окружность не касается MN в точке A, а проходит через O. Это неверно.

Давайте переосмыслим: точка A — точка касания меньшей окружности с диаметром. Диаметр MN. Точка A на MN. \( OA=5 \), \( R=10 \). Центр O₁ меньшей окружности. Радиус r.

Меньшая окружность касается MN в точке A. Это означает, что MN является касательной к меньшей окружности в точке A, или что центр O₁ лежит на прямой, перпендикулярной MN в точке A. И \( O₁A = r \).

Меньшая окружность касается большей изнутри. Точки O, O₁, точка касания лежат на одной прямой. Эта прямая проходит через O.

Если O₁ лежит на прямой MN, то A — точка касания. \( O₁A = r \). Точка касания большей и меньшей окружности находится на прямой OO₁. Пусть эта точка T. \( OT = R = 10 \). \( O₁T = r \). \( OO₁ = R - r = 10 - r \).

Если O₁ лежит на MN, то A = O₁. Тогда \( r = O₁A = 0 \), не подходит.

Если O₁ не лежит на MN, но O₁A перпендикулярно MN, то \( O₁A = r \). Тогда O₁ находится на расстоянии r от MN.

Предположим, что центр O₁ находится на прямой, перпендикулярной диаметру MN в точке A.

Расстояние от O до A равно 5. \( R=10 \). \( OA=5 \).

Центр O₁ находится на расстоянии r от точки A. \( O₁A=r \).

Если O₁ лежит на диаметре MN, то A — точка касания, и \( O₁ = A \). Тогда \( r=0 \), что неверно.

Значит, O₁ не лежит на MN. \( O₁A = r \) и \( O₁A \perp MN \).

Точка касания T большей и меньшей окружности лежит на прямой OO₁.

Расстояние от O до T = R = 10.

Расстояние от O₁ до T = r.

Расстояние между центрами \( OO₁ = R - r = 10 - r \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами O, A, O₁. Катеты — \( OA = 5 \) и \( O₁A = r \). Гипотенуза — \( OO₁ \).

\( OO₁^2 = OA^2 + O₁A^2 \)

\( (10 - r)^2 = 5^2 + r^2 \)

\( 100 - 20r + r^2 = 25 + r^2 \)

\( 100 - 20r = 25 \)

\( 20r = 100 - 25 \)

\( 20r = 75 \)

\( r = \frac{75}{20} = \frac{15}{4} \) см.

Ответ: 15/4 см.