7. Тип 15 № 322819 Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Пусть катеты прямоугольного треугольника \( a = 35 \) и \( b = 120 \).

Сначала найдем гипотенузу \( c \) по теореме Пифагора:

\( c^2 = a^2 + b^2 \)

\( c^2 = 35^2 + 120^2 \)

\( c^2 = 1225 + 14400 \)

\( c^2 = 15625 \)

\( c = \sqrt{15625} = 125 \)

Площадь треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 120 \)

2. Через гипотенузу и высоту к ней \( h_c \): \( S = \frac{1}{2}c h_c \)

Приравняем площади:

\( \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c h_c \)

\( ab = c h_c \)

\( h_c = \frac{ab}{c} \)

Подставим значения:

\( h_c = \frac{35 \cdot 120}{125} = \frac{35 \cdot 120}{125} = \frac{7 \cdot 5 \cdot 120}{25 \cdot 5} = \frac{7 \cdot 120}{25} = \frac{7 \cdot 24 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{7 \cdot 24}{5} = \frac{168}{5} = 33.6 \)

Ответ: 33.6