10. Тип 15 № 323344 Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Решение:

Пусть площадь треугольника \( S = 32\sqrt{3} \) и один из острых углов \( \alpha = 30^{\circ} \).

Пусть катеты треугольника равны \( a \) и \( b \), а гипотенуза \( c \).

Площадь прямоугольного треугольника: \( S = \frac{1}{2}ab \)

\( 32\sqrt{3} = \frac{1}{2}ab \)

\( ab = 64\sqrt{3} \)

В прямоугольном треугольнике:

\( \text{tg } \alpha = \frac{a}{b} \)

\( \text{tg } 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

\( \frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

\( b = a\sqrt{3} \)

Подставим \( b \) в уравнение для площади:

\( a(a\sqrt{3}) = 64\sqrt{3} \)

\( a^2\sqrt{3} = 64\sqrt{3} \)

\( a^2 = 64 \)

\( a = 8 \)

Теперь найдем \( b \):

\( b = a\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \)

Найдем гипотенузу \( c \) по теореме Пифагора:

\( c^2 = a^2 + b^2 \)

\( c^2 = 8^2 + (8\sqrt{3})^2 \)

\( c^2 = 64 + 64 \cdot 3 \)

\( c^2 = 64 + 192 \)

\( c^2 = 256 \)

\( c = \sqrt{256} = 16 \)

Ответ: 16