№7. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 см², а площади боковых граней — 9 см², 10 см² и 17 см². Найдите объём.

У прямой призмы площади боковых граней равны произведениям высоты призмы на стороны основания. Поэтому стороны треугольника основания пропорциональны числам 9, 10 и 17.

1. Треугольник со сторонами 9, 10 и 17 имеет полупериметр 18 и площадь по формуле Герона: \(\sqrt{18\cdot9\cdot8\cdot1}=36\).
2. Чтобы площадь основания стала 4 см², стороны нужно уменьшить в \(\sqrt{4/36}=1/3\) раза. Периметр основания тогда равен \((9+10+17)/3=12\) см.
3. Сумма площадей боковых граней равна \((9+10+17)=36\) см². Она также равна произведению периметра основания на высоту: \(12h=36\), значит, \(h=3\) см.
4. Объём: \(V=S_{осн}h=4\cdot3=12\) см³.

Ответ: 12 см³.