№12. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны a. Найдите объём полученного тела вращения.

При вращении вокруг стороны треугольник образует два одинаковых конуса с общей окружностью основания. Радиус этой окружности — высота равностороннего треугольника: \(r=\frac{\sqrt3}{2}a\). Высота каждого конуса равна \(a/2\).

1. Складываем объёмы двух конусов: \(V=2\cdot\frac13\pi r^2\cdot\frac a2\).
2. Подставляем \(r^2=3a^2/4\): \(V=\frac13\pi\cdot\frac{3a^2}{4}\cdot a=\frac{\pi a^3}{4}\).

Объём тела вращения: \(\frac{\pi a^3}{4}\).