7. Площадь боковой поверхности конуса равна 20\pi см², а его образующая 5 см. Найдите объем конуса.

Решение:

• Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: \( S_{бок} = \pi r l \), где \( r \) — радиус основания, а \( l \) — образующая.
• Нам дано: \( S_{бок} = 20\pi \) см² и \( l = 5 \) см.
• Подставим значения в формулу: \( 20\pi = \pi r (5) \).
• Разделим обе стороны на \( 5\pi \): \( r = \frac{20\pi}{5\pi} = 4 \) см.
• Теперь нам нужно найти высоту конуса \( h \). Образующая, радиус и высота образуют прямоугольный треугольник, где образующая — гипотенуза. По теореме Пифагора: \( l^2 = r^2 + h^2 \).
• \( 5^2 = 4^2 + h^2 \).
• \( 25 = 16 + h^2 \).
• \( h^2 = 25 - 16 = 9 \).
• \( h = \sqrt{9} = 3 \) см.
• Объем конуса вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).
• Подставим значения радиуса и высоты: \( V = \frac{1}{3} \pi (4^2) (3) \).
• \( V = \frac{1}{3} \pi (16) (3) \).
• \( V = 16\pi \) см³.

Ответ: 16\pi см³