6. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 24√3 см и наклонена к плоскости его основания под углом 30°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение:

• Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника равна \( d = 24\sqrt{3} \) см.
• Диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания под углом 30°. Это означает, что угол между диагональю и стороной прямоугольника, которая является диаметром основания, равен 30°.
• В прямоугольнике осевого сечения пусть высота равна \( h \) и диаметр основания равен \( D \). Диагональ \( d \) связана с \( h \) и \( D \) теоремой Пифагора: \( d^2 = h^2 + D^2 \).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю, диаметром основания и высотой цилиндра. Угол между диагональю и диаметром равен 30°.
• По определению синуса угла: \( \sin(30°) = \frac{h}{d} \).
• \( h = d \cdot \sin(30°) = 24\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 12\sqrt{3} \) см.
• По определению косинуса угла: \( \cos(30°) = \frac{D}{d} \).
• \( D = d \cdot \cos(30°) = 24\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \cdot 3 = 36 \) см.
• Радиус основания цилиндра \( r = \frac{D}{2} = \frac{36}{2} = 18 \) см.
• Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: \( S_{бок} = 2\pi r h \).
• Подставим значения радиуса и высоты: \( S_{бок} = 2\pi (18) (12\sqrt{3}) \).
• \( S_{бок} = 36\pi \cdot 12\sqrt{3} \).
• \( S_{бок} = 432\pi\sqrt{3} \) см².

Ответ: 432\pi\sqrt{3} см²