7. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном шестизначном телефонном номере последние четыре цифры — одна пятёрка и три четвёрки (в любом порядке).

Решение:

Шестизначный телефонный номер может начинаться с любой цифры от 0 до 9. Всего таких номеров \( 10^6 \).

Рассмотрим последние четыре цифры. Нас интересует случай, когда среди них одна пятёрка и три четвёрки.

Общее число вариантов для последних четырёх цифр: Каждая из четырёх цифр может быть любой от 0 до 9. Поэтому общее число комбинаций для последних четырёх цифр равно \( 10^4 \).

Число благоприятных комбинаций для последних четырёх цифр:

У нас есть одна пятёрка и три четвёрки. Нам нужно выбрать позицию для пятёрки. Это можно сделать \( C_4^1 = 4 \) способами. Остальные три позиции займут четвёрки.

Таким образом, есть 4 благоприятные комбинации для последних четырёх цифр: 5444, 4544, 4454, 4445.

Вероятность:

Вероятность того, что последние четыре цифры будут именно в таком составе (одна пятёрка и три четвёрки), равна:

\[ P = \frac{\text{Число благоприятных комбинаций}}{\text{Общее число комбинаций}} = \frac{4}{10^4} = \frac{4}{10000} = \frac{1}{2500} \]

Ответ: \(\frac{1}{2500}\).