6. В группе 30 студентов, из них 18 изучают английский язык, 12 — немецкий, а 6 изучают оба языка. Сколько студентов не изучают ни английский, ни немецкий?

Решение:

Пусть A — множество студентов, изучающих английский язык, а N — множество студентов, изучающих немецкий язык. Всего студентов \( |U| = 30 \).

• Число студентов, изучающих английский: \( |A| = 18 \).
• Число студентов, изучающих немецкий: \( |N| = 12 \).
• Число студентов, изучающих оба языка: \( |A \cap N| = 6 \).

Найдем число студентов, изучающих хотя бы один язык, по формуле включения-исключения:

\[ |A \cup N| = |A| + |N| - |A \cap N| = 18 + 12 - 6 = 30 - 6 = 24 \]

Число студентов, которые не изучают ни английский, ни немецкий, равно общему числу студентов минус число студентов, изучающих хотя бы один язык:

\[ |U| - |A \cup N| = 30 - 24 = 6 \]

Ответ: 6.