7. Найдите корень уравнения $$\log_7(6x-8) = \log_7(x+37)$$.

Решение:

1. Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять выражения под знаком логарифма: \( 6x - 8 = x + 37 \).
2. Перенесем члены с \( x \) в одну сторону, а числовые значения — в другую: \( 6x - x = 37 + 8 \).
3. Упростим: \( 5x = 45 \).
4. Найдем \( x \): \( x = \frac{45}{5} = 9 \).
5. Проверим, что аргументы логарифмов положительны при \( x=9 \):
• \( 6x - 8 = 6(9) - 8 = 54 - 8 = 46 \). \( 46 > 0 \).
• \( x + 37 = 9 + 37 = 46 \). \( 46 > 0 \).
6. Оба аргумента положительны, значит, \( x=9 \) является корнем уравнения.

Ответ: \( x = 9 \)