№7. Какое наименьшее число рёбер придется пройти дважды, чтобы обойти все рёбра тетраэдра и вернуться в исходную вершину?

Решение:

Тетраэдр — это правильный многогранник, состоящий из 4 треугольных граней, 6 рёбер и 4 вершин. Каждая вершина тетраэдра имеет степень 3 (из каждой вершины выходит 3 ребра).

Для того чтобы обойти все рёбра графа и вернуться в исходную вершину, необходимо, чтобы все вершины имели чётную степень (Эйлеров цикл). В тетраэдре все вершины имеют нечётную степень (3).

Чтобы сделать вершины чётными, нужно пройти некоторые рёбра дважды. Минимальное количество рёбер, которое нужно пройти дважды, равно половине числа вершин с нечётной степенью (так как каждое ребро, пройденное дважды, увеличивает степень двух вершин на 1).

В тетраэдре 4 вершины с нечётной степенью.

Число рёбер, которые придётся пройти дважды = \(\frac{\text{количество вершин с нечётной степенью}}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

Ответ: 2