7. Докажите, что выражение x² - 14x + 51 принимает положительные значения при всех значениях х.

Решение:

Чтобы доказать, что квадратный трехчлен \(x² - 14x + 51\) принимает положительные значения при всех значениях \(x\), мы можем использовать метод выделения полного квадрата или рассмотреть дискриминант квадратного уравнения \(x² - 14x + 51 = 0\).

Метод 1: Выделение полного квадрата.

Для выражения \(x² - 14x + 51\) мы хотим представить его в виде \((x - h)² + k\), где \(k > 0\).

• Возьмем первые два члена: \(x² - 14x\).
• Чтобы сделать из них полный квадрат, нам нужно добавить \((-14/2)² = (-7)² = 49\).
• \(x² - 14x + 49 = (x - 7)²\).
• Теперь перепишем исходное выражение, используя это:
• \(x² - 14x + 51 = (x² - 14x + 49) + 51 - 49\)
• \( = (x - 7)² + 2\)

Поскольку \((x - 7)²\) всегда больше или равно 0 для любого действительного \(x\), то \((x - 7)² + 2\) всегда будет больше или равно \(0 + 2 = 2\).

Таким образом, \(x² - 14x + 51 ≥ 2\) для всех \(x\), что означает, что выражение всегда положительно.

Метод 2: Анализ дискриминанта.

Рассмотрим квадратное уравнение \(x² - 14x + 51 = 0\). Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -14\), \(c = 51\).

• Вычислим дискриминант: \(D = b² - 4ac\)
• \(D = (-14)² - 4 \( \cdot \) 1 \( \cdot \) 51\)
• \(D = 196 - 204\)
• \(D = -8\)

Поскольку дискриминант \(D < 0\) и коэффициент \(a = 1 > 0\) (ветви параболы направлены вверх), то парабола \(y = x² - 14x + 51\) полностью лежит выше оси \(Ox\). Это означает, что значения \(y\) (то есть значения выражения \(x² - 14x + 51\)) всегда положительны для всех действительных \(x\).

Финальный ответ:

Ответ: Выражение \(x² - 14x + 51\) принимает положительные значения, так как оно может быть представлено в виде \((x - 7)² + 2\), где \((x - 7)² ≥ 0\), следовательно, \((x - 7)² + 2 ≥ 2\) для всех \(x\).