7*. Докажите, что если а + 2b = 4, то а³ + 8b³ = 64 - 24ab

Решение:

Нам дано условие $$a + 2b = 4$$. Нам нужно доказать, что $$a^3 + 8b^3 = 64 - 24ab$$.

Рассмотрим левую часть выражения, которое нужно доказать: $$a^3 + 8b^3$$.

Заметим, что $$8b^3$$ является кубом от $$2b$$, то есть $$8b^3 = (2b)^3$$.

Теперь выражение $$a^3 + 8b^3$$ можно переписать как сумму кубов: $$a^3 + (2b)^3$$.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$$.

В нашем случае $$x = a$$ и $$y = 2b$$. Применяем формулу:

• $$a^3 + (2b)^3 = (a + 2b)(a^2 - a(2b) + (2b)^2)$$
• $$a^3 + 8b^3 = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$$

Из условия задачи мы знаем, что $$a + 2b = 4$$. Подставим это значение в полученное выражение:

• $$a^3 + 8b^3 = (4)(a^2 - 2ab + 4b^2)$$
• $$a^3 + 8b^3 = 4a^2 - 8ab + 16b^2$$

Теперь сравним это с правой частью, которую нужно доказать: $$64 - 24ab$$.

Похоже, прямое применение формулы суммы кубов не приводит к требуемому результату напрямую. Давайте попробуем возвести в куб обе части данного условия $$a + 2b = 4$$.

• $$(a + 2b)^3 = 4^3$$

Воспользуемся формулой куба суммы: $$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$$.

В нашем случае $$x = a$$ и $$y = 2b$$. Применяем формулу:

• $$a^3 + 3a^2(2b) + 3a(2b)^2 + (2b)^3 = 64$$
• $$a^3 + 6a^2b + 3a(4b^2) + 8b^3 = 64$$
• $$a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3 = 64$$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить $$a^3 + 8b^3$$:

• $$a^3 + 8b^3 + 6a^2b + 12ab^2 = 64$$

Теперь посмотрим на дополнительные слагаемые: $$6a^2b + 12ab^2$$. Вынесем общий множитель $$6ab$$:

• $$6a^2b + 12ab^2 = 6ab(a + 2b)$$

Мы знаем, что $$a + 2b = 4$$. Подставим это значение:

• $$6ab(4) = 24ab$$

Теперь подставим это обратно в уравнение:

• $$a^3 + 8b^3 + 24ab = 64$$

Перенесем $$24ab$$ в правую часть уравнения:

• $$a^3 + 8b^3 = 64 - 24ab$$

Таким образом, мы доказали, что если $$a + 2b = 4$$, то $$a^3 + 8b^3 = 64 - 24ab$$.

Доказано.