7. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Докажите, что отрезки AE и CF равны.

Доказательство:

Дано: ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей AC и BD, прямая EF проходит через O и пересекает AB в точке E, а CD в точке F.

Доказать: AE = CF.

Доказательство:

1. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, \( AO = OC \) и \( BO = OD \).

2. Рассмотрим треугольники \( \triangle AEO \) и \( \triangle CFO \).

• \( AO = OC \) (из п. 1).
• \( \angle AOE = \angle COF \) как вертикальные углы.
• \( \angle OAE = \angle OCF \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AB \) и \( CD \) и секущей \( AC \).

3. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), \( \triangle AEO = \triangle CFO \).

4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( AE = CF \).

Что и требовалось доказать.