3. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 20. Найдите BC, если AC = 32.

Решение:

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности. Следовательно, \( AB \) — диаметр.

Диаметр \( AB = 2 \cdot R = 2 \cdot 20 = 40 \).

Так как центр окружности лежит на стороне \( AB \), то угол \( \angle ACB \) является вписанным углом, опирающимся на диаметр. Следовательно, \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

Таким образом, треугольник \( ABC \) — прямоугольный с гипотенузой \( AB \).

По теореме Пифагора:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 32^2 + BC^2 = 40^2 \]

\[ 1024 + BC^2 = 1600 \]

\[ BC^2 = 1600 - 1024 \]

\[ BC^2 = 576 \]

\[ BC = \sqrt{576} \]

\[ BC = 24 \]

Ответ: 24