7) Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 10 см, а сторона основания - 12 см. Найдите апофему.

Решение:

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Апофема — это высота боковой грани пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром.

Дано:
Правильная четырёхугольная пирамида.
Боковое ребро \( l = 10 \) см.
Сторона основания \( a = 12 \) см.

Найти:
Апофему \( h_a \).

1. В основании пирамиды лежит квадрат со стороной \( a = 12 \) см.
2. Половина стороны основания равна \( \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) см.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это боковое ребро \( l \), один катет — половина стороны основания \( \frac{a}{2} \), а другой катет — апофема \( h_a \).
4. По теореме Пифагора: \( l^2 = h_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \).
5. Подставим известные значения:
   \[ 10^2 = h_a^2 + 6^2 \]
   \[ 100 = h_a^2 + 36 \]
6. Найдём \( h_a^2 \):
   \[ h_a^2 = 100 - 36 \]
   \[ h_a^2 = 64 \]
7. Найдём \( h_a \):
   \[ h_a = \(\sqrt{64}\) = 8 \) см.

Ответ: 8 см.