7. Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке L, лежащей на стороне AB. Докажите, что L - середина AB.

Доказательство:

Дано: ABCD - параллелограмм. CL - биссектриса угла C, DL - биссектриса угла D. Точка L лежит на стороне AB.

Доказать: L - середина AB.

1. Свойства параллелограмма: Противоположные стороны параллельны (AB || CD) и равны (AB = CD, BC = AD).
2. Свойства биссектрисы: Биссектриса делит угол пополам.
3. Свойства параллельных прямых: Накрест лежащие углы равны при пересечении параллельных прямых секущей.

Рассмотрим биссектрису CL угла C:

1. Угол BCL = Угол LCD = Угол C / 2.
2. Так как AB || CD, то угол LCD и угол CLB являются накрест лежащими углами при секущей CL.
3. Следовательно, Угол LCD = Угол CLB.
4. Из этого следует, что Угол BCL = Угол CLB.
5. Треугольник BCL имеет два равных угла (Угол BCL = Угол CLB), значит, он является равнобедренным.
6. Стороны, противолежащие равным углам, равны: BC = BL.

Теперь рассмотрим биссектрису DL угла D:

1. Угол ADL = Угол LDC = Угол D / 2.
2. Так как AB || CD, то угол LDC и угол DLA являются накрест лежащими углами при секущей DL.
3. Следовательно, Угол LDC = Угол DLA.
4. Из этого следует, что Угол ADL = Угол DLA.
5. Треугольник ADL имеет два равных угла (Угол ADL = Угол DLA), значит, он является равнобедренным.
6. Стороны, противолежащие равным углам, равны: AD = AL.

Теперь используем свойства параллелограмма:

1. BC = AD (противоположные стороны параллелограмма равны).
2. Из равенства сторон треугольников, мы получили: BC = BL и AD = AL.
3. Следовательно, BL = AL.
4. Точка L лежит на стороне AB. AB = AL + BL.
5. Так как AL = BL, то AB = AL + AL = 2 * AL, и AB = BL + BL = 2 * BL.
6. Это означает, что L является серединой стороны AB.

Что и требовалось доказать.