6. В треугольнике ABC угол А равен 60°, угол В равен 45°, BC = 5√6. Найдите AC.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов.

Теорема синусов: В любом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла равно одному и тому же значению (равному двум радиусам описанной окружности).

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Где:

• a, b, c — длины сторон треугольника.
• A, B, C — противолежащие углы.

В нашем случае:

• Угол A = 60°
• Угол B = 45°
• Сторона BC (противолежащая углу A) = a = 5√6
• Сторона AC (противолежащая углу B) = b = ?

Сначала найдем угол C:

Угол C = 180° - Угол A - Угол B

Угол C = 180° - 60° - 45° = 75°

Теперь применим теорему синусов для нахождения стороны AC (b):

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$

$$\frac{5\sqrt{6}}{\sin 60°} = \frac{AC}{\sin 45°}$$

Найдем значения синусов:

• sin 60° = √3 / 2
• sin 45° = √2 / 2

Подставим значения в уравнение:

$$\frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

Упростим левую часть:

$$5\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{\frac{6}{3}} = 10\sqrt{2}$$

Теперь уравнение выглядит так:

$$10\sqrt{2} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

Выразим AC:

$$AC = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$AC = \frac{10 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{2}$$

$$AC = \frac{10 \cdot 2}{2}$$

$$AC = 10$$

Ответ: 10