699 Найдите: a) sin α и tg α, если cos α = 1/2; б) sin α и tg α, если cos α = 1/3.

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$, и определением тангенса: $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$.

а) cos α = 1/2

• Найдём $$\sin \alpha$$: $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4$$. Следовательно, $$\sin \alpha = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ (предполагаем, что угол острый, поэтому синус положителен).
• Найдём $$\operatorname{tg} \alpha$$: $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$$.

б) cos α = 1/3

• Найдём $$\sin \alpha$$: $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (1/3)^2 = 1 - 1/9 = 8/9$$. Следовательно, $$\sin \alpha = \sqrt{8/9} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ (предполагаем, что угол острый, поэтому синус положителен).
• Найдём $$\operatorname{tg} \alpha$$: $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{2\sqrt{2}/3}{1/3} = 2\sqrt{2}$$.

Ответ:

• а) $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{3}$$.
• б) $$\sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$, $$\operatorname{tg} \alpha = 2\sqrt{2}$$.