67. 2^n : 4^{n+3} · 8^{n+2}

Решение:

Приведём все основания к одному основанию \( 2 \).

1. Заменим \( 4 \) на \( 2^2 \) и \( 8 \) на \( 2^3 \).
2. Выражение примет вид: \( 2^n : (2^2)^{n+3} · (2^3)^{n+2} \).
3. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{mn} \): \( 2^n : 2^{2(n+3)} · 2^{3(n+2)} = 2^n : 2^{2n+6} · 2^{3n+6} \).
4. Выполним деление: \( 2^{n - (2n+6)} = 2^{n-2n-6} = 2^{-n-6} \).
5. Теперь умножим: \( 2^{-n-6} · 2^{3n+6} \).
6. Применим свойство умножения степеней \( a^m · a^n = a^{m+n} \): \( 2^{(-n-6) + (3n+6)} = 2^{-n-6+3n+6} = 2^{2n} \).

Ответ: \( 2^{2n} \).