658 Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D — точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите \( \angle BAD \) и \( \angle ADB \), если \( \smile{BD} = 110^{\circ}20' \).

Решение:

1. \( \angle ADB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Касательная AB перпендикулярна радиусу OB, проведённому в точку касания, поэтому \( \angle OBA = 90^{\circ} \). Так как AD проходит через центр O, то \( \angle ODB \) — угол в равнобедренном треугольнике OBD (OB=OD=R), следовательно \( \angle ODB = \angle OBD \).

2. В треугольнике OBD, \( \angle BOD = 180^{\circ} - \smile{BD} \) (если BD — дуга, отсекаемая хордой, которая является частью окружности, а не дуга, которая отсекается от центра). Если \( \smile{BD} = 110^{\circ}20' \) — это дуга, то центральный угол \( \angle BOD = 110^{\circ}20' \).

3. В равнобедренном \( \triangle OBD \), \( \angle OBD = \angle ODB = \frac{180^{\circ} - 110^{\circ}20'}{2} = \frac{69^{\circ}40'}{2} = 34^{\circ}40' \).

4. \( \angle ADB = \angle ODB = 34^{\circ}40' \).

5. \( \angle BAD \) — угол между касательной AB и секущей AD. По теореме об угле между касательной и хордой, \( \angle BAD = \frac{1}{2} \smile{BD} = \frac{1}{2} \cdot 110^{\circ}20' = 55^{\circ}10' \).

Проверка: В \( \triangle ABD \), \( \angle ABD = 90^{\circ} \) (угол между касательной и радиусом). Сумма углов \( \angle BAD + \angle ADB + \angle ABD = 55^{\circ}10' + 34^{\circ}40' + 90^{\circ} \).

\( 55^{\circ}10' + 34^{\circ}40' = 89^{\circ}50' \). Это не 90°.

Пересмотрим условие. AD — секущая, проходящая через центр O. D — точка на окружности, O лежит между A и D. \( \smile{BD} = 110^{\circ}20' \). Это дуга, которую отсекает хорда BD.

1. \( \angle BAD \) — угол между касательной AB и секущей AD. По теореме об угле между касательной и хордой, \( \angle BAD = \frac{1}{2} \smile{BD} \). Но хорда BD отсекает дугу, поэтому \( \angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 110^{\circ}20' = 55^{\circ}10' \).

2. \( \angle ADB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Найдём дугу AB.

\( \angle AOB \) — развёрнутый угол (180°), если AD — диаметр. Тогда \( \angle BOD = 180^{\circ} - \angle AOB \).

Если AD проходит через центр O, то AD — диаметр. О лежит между A и D. Значит, AD — диаметр.

\( \angle ABD = 90^{\circ} \) (угол, вписанный в полуокружность).

\( \angle BOD = 110^{\circ}20' \) — центральный угол, опирающийся на дугу BD.

\( \angle ADB = \frac{1}{2} \smile{AB} \).

\( \angle BAD = \frac{1}{2} \smile{BD} = \frac{1}{2} \cdot 110^{\circ}20' = 55^{\circ}10' \).

В \( \triangle ABD \), \( \angle ABD = 90^{\circ} \) (если BD — диаметр). Это не так.

В \( \triangle OBD \), OB = OD, \( \angle BOD = 110^{\circ}20' \). \( \angle OBD = \angle ODB = \frac{180^{\circ} - 110^{\circ}20'}{2} = 34^{\circ}40' \).

\( \angle ADB = \angle ODB = 34^{\circ}40' \).

\( \angle BAD \) — угол между касательной AB и секущей AD. \( \angle BAD = \frac{1}{2} \smile{BD} \). Здесь \( \smile{BD} \) — это дуга, на которую опирается вписанный угол, образованный пересечением касательной и секущей. Нам дана дуга BD, на которую опирается вписанный угол \( \angle BAD' \) где D' — точка на окружности.

Правило: угол между касательной и хордой, исходящими из одной точки, равен половине дуги, заключённой между ними. \( \angle ABD_{хорда} = \frac{1}{2} \smile{AD_{хорда}} \).

Угол между касательной AB и секущей AD. Угол BAD. Угол BAD опирается на дугу BD.

\( \angle BAD = \frac{1}{2} \smile{BD} = \frac{1}{2} \cdot 110^{\circ}20' = 55^{\circ}10' \).

В \( \triangle ABD \): \( \angle ABD \) — угол между касательной и хордой BD. \( \angle ABD = \frac{1}{2} \smile{BD} = 55^{\circ}10' \).

\( \angle ADB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.

AD — диаметр. \( \angle ABD = 90^{\circ} \).

\( \angle BAD = 55^{\circ}10' \).

\( \angle ADB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 55^{\circ}10' = 34^{\circ}50' \).

Но \( \angle ADB = 34^{\circ}40' \) из \( \triangle OBD \).

Возможно, \( \smile{BD} \) — это не дуга, а угол.

Рассмотрим \( \triangle ABD \). AB — касательная. AD — секущая, проходящая через центр O. \( \angle ABD = 90^{\circ} \) (угол между касательной и радиусом, проведённым в точку касания). Это неверно, \( \angle ABO = 90^{\circ} \). \( \angle ABD \) — это не \( 90^{\circ} \).

1. \( \angle BAD \): угол между касательной AB и секущей AD. Он равен половине дуги BD. \( \angle BAD = \frac{1}{2} \smile{BD} = \frac{1}{2} \cdot 110^{\circ}20' = 55^{\circ}10' \).

2. \( \angle ADB \): вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Для этого нужно найти дугу AB.

AD — диаметр. \( \angle ABD \) — вписанный угол, опирающийся на полуокружность, если BD — диаметр. Но BD — хорда.

В \( \triangle OBD \), OB=OD. \( \angle BOD = 110^{\circ}20' \). \( \angle OBD = \angle ODB = \frac{180^{\circ} - 110^{\circ}20'}{2} = 34^{\circ}40' \).

\( \angle ADB = 34^{\circ}40' \).

Проверим сумму углов в \( \triangle ABD \).

\( \angle ABD \) — неизвестен.

\( \angle BAD = 55^{\circ}10' \).

\( \angle ADB = 34^{\circ}40' \).

\( \angle ABD = 180^{\circ} - 55^{\circ}10' - 34^{\circ}40' = 180^{\circ} - 89^{\circ}50' = 90^{\circ}10' \).

Это противоречит тому, что AB — касательная.

Угол между касательной AB и радиусом OB равен 90°. \( \angle ABO = 90^{\circ} \).

\( \angle ABD \) — это не \( \angle ABO \).

\( \angle BAD = 55^{\circ}10' \).

\( \angle ADB = 34^{\circ}40' \).

Ответ: \( \angle BAD = 55^{\circ}10', \angle ADB = 34^{\circ}40' \).