64. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, BC=20, sinA=0,1. Найдите длину отрезка BH.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle C = 90° \). CH — высота, проведённая из вершины C к гипотенузе AB.

Нам даны:

• BC = 20.
• \( \sin A = 0,1 \).

По определению синуса в прямоугольном треугольнике ABC:

\[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \]\[ 0,1 = \frac{20}{AB} \]\[ AB = \frac{20}{0,1} = 200 \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBH (так как CH — высота, \( \angle CHB = 90° \)).

Угол \( \angle CBH = \angle CBA = \angle B \).

В прямоугольном треугольнике ABC:

\[ \cos B = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} = \frac{20}{200} = 0,1 \]

Также мы знаем, что \( \angle A + \angle B = 90° \). Следовательно, \( \sin A = \cos B \). Это совпадает с данными.

В прямоугольном треугольнике CBH:

\( \sin \angle CBH = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{BC} \)

\( \cos \angle CBH = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{BC} \)

Нам нужно найти BH. Используем \( \cos B \) в треугольнике CBH:

\( BH = BC \cdot \cos B \)

\( BH = 20 \cdot 0,1 \)

\( BH = 2 \)

Ответ: 2