62. В равнобедренном треугольнике ABC медиана ВМ, проведённая к основанию, равна 16, а \( \text{tg}A = \frac{8}{15} \). Найдите длину боковой стороны треугольника АВС.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC медиана BM, проведённая к основанию AC, также является высотой и биссектрисой. Следовательно, \( \angle AMB = 90° \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник AMB. Нам даны:

• Высота BM = 16.
• Тангенс угла A, \( \text{tg}A = \frac{8}{15} \).

По определению тангенса в прямоугольном треугольнике AMB:

\[ \text{tg}A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BM}{AM} \]\[ \frac{8}{15} = \frac{16}{AM} \]\[ AM = \frac{16 \cdot 15}{8} = 2 \cdot 15 = 30 \]

Теперь, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике AMB, найдём боковую сторону AB:

\( AB^2 = AM^2 + BM^2 \)

\( AB^2 = 30^2 + 16^2 \)

\( AB^2 = 900 + 256 \)

\( AB^2 = 1156 \)

Извлекаем квадратный корень:

\( AB = \sqrt{1156} = 34 \)

Так как треугольник ABC равнобедренный, боковые стороны AB и BC равны.

Ответ: 34