63. В треугольнике ABC известно, что AB=BC, AC=12, \( \text{tg} \angle BAC = \frac{2\sqrt{10}}{3} \). Найдите длину стороны AB.

Решение:

В треугольнике ABC AB = BC, значит, он равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).

Нам дано:

• AC = 12.
• \( \text{tg} \angle BAC = \frac{2\sqrt{10}}{3} \).

Опустим высоту BM из вершины B на основание AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит его пополам. Значит, \( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник AMB. Угол \( \angle BAM = \angle BAC \).

По определению тангенса в прямоугольном треугольнике AMB:

\[ \text{tg} \angle BAC = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BM}{AM} \]\[ \frac{2\sqrt{10}}{3} = \frac{BM}{6} \]\[ BM = \frac{2\sqrt{10}}{3} \cdot 6 = 2\sqrt{10} \cdot 2 = 4\sqrt{10} \]

Теперь, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике AMB, найдём боковую сторону AB:

\( AB^2 = AM^2 + BM^2 \)

\( AB^2 = 6^2 + (4\sqrt{10})^2 \)

\( AB^2 = 36 + 16 \cdot 10 \)

\( AB^2 = 36 + 160 \)

\( AB^2 = 196 \)

Извлекаем квадратный корень:

\( AB = \sqrt{196} = 14 \)

Ответ: 14