6. Вычислить интеграл: в) \(\\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \sin(2x - \frac{\pi}{4}) dx\)

Решение:

Вычислим определённый интеграл \( \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \sin(2x - \frac{\pi}{4}) dx \).

Сделаем замену переменной. Пусть \( u = 2x - \frac{\pi}{4} \). Тогда \( du = 2 dx \), следовательно \( dx = \frac{1}{2} du \).

Изменим пределы интегрирования:

Нижний предел: при \( x = \frac{\pi}{4} \), \( u = 2(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \).

Верхний предел: при \( x = \pi \), \( u = 2(\pi) - \frac{\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \).

Теперь интеграл примет вид:

\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} \sin(u) \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} \sin(u) du \]

Первообразная для \( \sin(u) \) равна \( -\cos(u) \).

\[ \frac{1}{2} \left[ -\cos(u) \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} = -\frac{1}{2} \left[ \cos(u) \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ = -\frac{1}{2} \left( \cos(\frac{7\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4}) \right) \]

Значения косинусов:

\( \cos(\frac{7\pi}{4}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Подставим эти значения:

\[ = -\frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \]\[ = -\frac{1}{2} (0) \]\[ = 0 \]

Ответ: 0.