1. Доказать, что функция F(x) = 3x + sin x - e^(2x) является первообразной функции f(x) = 3 + cos x - 2e^(2x) на всей числовой прямой.

Решение:

Чтобы доказать, что \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \), нужно найти производную \( F'(x) \) и проверить, равна ли она \( f(x) \).

Дана функция \( F(x) = 3x + \sin x - e^{2x} \).

Найдем её производную \( F'(x) \):

\[ F'(x) = \frac{d}{dx}(3x + \sin x - e^{2x}) \]\[ F'(x) = \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(\sin x) - \frac{d}{dx}(e^{2x}) \]\[ F'(x) = 3 + \cos x - e^{2x} \cdot 2 \]\[ F'(x) = 3 + \cos x - 2e^{2x} \]

Полученная производная \( F'(x) = 3 + \cos x - 2e^{2x} \) совпадает с функцией \( f(x) \).

Следовательно, \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \) на всей числовой прямой.

Ответ: Доказано.