2. Найти первообразную F функции f(x) = 2√x, график которой проходит через точку A(0; 7).

Решение:

Сначала найдём общую первообразную для функции \( f(x) = 2\sqrt{x} \).

\( f(x) = 2x^{1/2} \).

Первообразная \( F(x) \) находится интегрированием:

\[ F(x) = \int 2x^{1/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C = 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = 2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C = \frac{4}{3} x^{3/2} + C \]

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку \( A(0; 7) \). Это означает, что при \( x=0 \), \( F(x)=7 \).

\[ 7 = \frac{4}{3} (0)^{3/2} + C \]\[ 7 = 0 + C \]\[ C = 7 \]

Подставляем найденное значение \( C \) в выражение для \( F(x) \).

\( F(x) = \frac{4}{3} x^{3/2} + 7 \).

Ответ: \( F(x) = \frac{4}{3} x^{3/2} + 7 \).