6. В треугольнике АВС угол В равен 56°, угол С равен 64°, BC = 3√3. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle B = 56^{\circ} \]
• \[ \angle C = 64^{\circ} \]
• \[ a = BC = 3\sqrt{3} \]

Найти:

• \[ R \text{ (радиус описанной окружности)} \]

Решение:

Для нахождения радиуса описанной окружности треугольника используется теорема синусов:

• \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

Где \( a, b, c \) - стороны треугольника, противолежащие углам \( A, B, C \) соответственно, а \( R \) - радиус описанной окружности.

Из этой теоремы следует, что:

• \[ R = \frac{a}{2 \sin A} \]

Чтобы использовать эту формулу, нам нужно найти угол \( A \) и \( \sin A \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°:

• \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \]
• \[ \angle A + 56^{\circ} + 64^{\circ} = 180^{\circ} \]
• \[ \angle A + 120^{\circ} = 180^{\circ} \]
• \[ \angle A = 180^{\circ} - 120^{\circ} \]
• \[ \angle A = 60^{\circ} \]

Теперь найдем \( \sin A \):

• \[ \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь подставим известные значения \( a = 3\sqrt{3} \) и \( \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \) в формулу для \( R \):

• \[ R = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \]
• \[ R = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \]
• \[ R = 3 \]

Радиус описанной около этого треугольника окружности равен 3.

Ответ: 3