4. Две стороны треугольника равны 1 см и √18 см, а угол между ними составляет 135°. Найдите третью сторону треугольника.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ a = 1 \text{ см} \]
• \[ b = \sqrt{18} \text{ см} \]
• \[ \gamma = 135^{\circ} \text{ (угол между сторонами a и b)} \]

Найти:

• Длину третьей стороны \( c \)

Решение:

Для нахождения третьей стороны треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, используется теорема косинусов:

• \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \]

Где:

• \[ a \] и \[ b \] - длины двух известных сторон.
• \[ \gamma \] - угол между этими сторонами.
• \[ c \] - длина искомой третьей стороны.

Подставим данные значения в формулу:

• \[ c^2 = 1^2 + (\sqrt{18})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{18} \cdot \cos 135^{\circ} \]

Рассчитаем значения:

• \[ 1^2 = 1 \]
• \[ (\sqrt{18})^2 = 18 \]
• Значение \( \cos 135^{\circ} \) равно \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Подставим эти значения обратно в уравнение:

• \[ c^2 = 1 + 18 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{18} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]
• \[ c^2 = 19 - 2 \sqrt{18} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]
• \[ c^2 = 19 + 2 \sqrt{18} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Упростим выражение с корнями:

• \[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \]

Теперь подставим это в уравнение:

• \[ c^2 = 19 + 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]
• \[ c^2 = 19 + 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]
• \[ c^2 = 19 + \frac{6 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{2} \]
• \[ c^2 = 19 + \frac{6 \cdot 2}{2} \]
• \[ c^2 = 19 + \frac{12}{2} \]
• \[ c^2 = 19 + 6 \]
• \[ c^2 = 25 \]

Теперь найдем \( c \) извлекая квадратный корень:

• \[ c = \sqrt{25} \]
• \[ c = 5 \]

Третья сторона треугольника равна 5 см.

Ответ: 5 см