6. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠ С = 50° и ВМ = АМ = MC.

Задание 6

Условие: В треугольнике ABC проведена медиана BM. \( ∠ C = 50° \) и \( BM = AM = MC \).

Решение:

1. Медиана BM делит сторону AC пополам, поэтому \( AM = MC \).
2. По условию, \( BM = AM = MC \). Это означает, что точка M является центром описанной окружности, а треугольник ABC вписан в эту окружность.
3. Рассмотрим треугольник BCM. Так как \( BM = MC \), он равнобедренный. Углы при основании равны: \( ∠ MBC = ∠ C = 50° \).
4. Найдем угол \( ∠ BMA \) (он же \( ∠ BMC \)) - внешний угол треугольника BCM. \( ∠ BMC = ∠ MBC + ∠ C = 50° + 50° = 100° \).
5. Рассмотрим треугольник ABM. Так как \( BM = AM \), он тоже равнобедренный. Углы при основании равны: \( ∠ BAM = ∠ ABM \).
6. Угол \( ∠ BMA \) является внешним углом для треугольника ABM. \( ∠ BMA = ∠ BAM + ∠ ABM \).
7. Так как \( ∠ BMA = 100° \), то \( 100° = ∠ BAM + ∠ ABM \).
8. Поскольку \( ∠ BAM = ∠ ABM \), то \( 2 ∠ BAM = 100° \), значит \( ∠ BAM = 50° \).
9. Угол \( ∠ BAM \) - это и есть угол \( ∠ A \).

Ответ: 50.