5. В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Найдите градусную меру угла В, если ∠ С = 15° и АК = CK.

Задание 5

Условие: В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. \( ∠ C = 15° \) и \( AK = CK \).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник AKC. Так как \( AK = CK \), он равнобедренный. Углы при основании равны: \( ∠ KAC = ∠ C = 15° \).
2. Найдем угол \( ∠ AKC \) в треугольнике AKC: \( ∠ AKC = 180° - (∠ KAC + ∠ C) = 180° - (15° + 15°) = 180° - 30° = 150° \).
3. Угол \( ∠ AKB \) является смежным к \( ∠ AKC \), значит \( ∠ AKB = 180° - ∠ AKC = 180° - 150° = 30° \).
4. АК - биссектриса угла А, значит \( ∠ BAK = ∠ KAC = 15° \).
5. Теперь рассмотрим треугольник ABK. Сумма углов в нем: \( ∠ BAK + ∠ AKB + ∠ B = 180° \).
6. Подставим известные значения: \( 15° + 30° + ∠ B = 180° \).
7. \( 45° + ∠ B = 180° \).
8. \( ∠ B = 180° - 45° = 135° \).

Ответ: 135.