6. В прямоугольном треугольнике градусные меры наибольшего и наименьшего внешних углов относятся как 8:5. Найдите меньший острый угол этого треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике есть один прямой угол (\( 90^{\circ} \)) и два острых угла. Сумма острых углов равна \( 90^{\circ} \). Пусть острые углы равны \( \alpha \) и \( \beta \), где \( \alpha < \beta \).

Внешние углы треугольника равны разности \( 180^{\circ} \) и внутренних углов.

Внешний угол при вершине прямого угла равен \( 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).

Внешний угол при вершине острого угла \( \alpha \) равен \( 180^{\circ} - \alpha \).

Внешний угол при вершине острого угла \( \beta \) равен \( 180^{\circ} - \beta \).

Поскольку \( \alpha < \beta \), то \( 180^{\circ} - \alpha > 180^{\circ} - \beta \).

Наибольший внешний угол — это \( 180^{\circ} - \alpha \). Наименьший внешний угол — это \( 180^{\circ} - \beta \).

По условию, отношение наибольшего и наименьшего внешних углов равно 8:5.

\( (180^{\circ} - \alpha) : (180^{\circ} - \beta) = 8:5 \).

\( 5(180^{\circ} - \alpha) = 8(180^{\circ} - \beta) \)

\( 900^{\circ} - 5\alpha = 1440^{\circ} - 8\beta \)

\( 8\beta - 5\alpha = 1440^{\circ} - 900^{\circ} \)

\( 8\beta - 5\alpha = 540^{\circ} \).

Также мы знаем, что \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \), откуда \( \beta = 90^{\circ} - \alpha \).

Подставим \( \beta \) в первое уравнение:

\( 8(90^{\circ} - \alpha) - 5\alpha = 540^{\circ} \)

\( 720^{\circ} - 8\alpha - 5\alpha = 540^{\circ} \)

\( 720^{\circ} - 13\alpha = 540^{\circ} \)

\( 13\alpha = 720^{\circ} - 540^{\circ} \)

\( 13\alpha = 180^{\circ} \)

\( \alpha = \frac{180^{\circ}}{13} \).

\( \beta = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - \frac{180^{\circ}}{13} = \frac{90^{\circ} \cdot 13 - 180^{\circ}}{13} = \frac{1170^{\circ} - 180^{\circ}}{13} = \frac{990^{\circ}}{13} \).

Проверим, является ли \( \alpha \) наименьшим острым углом.

\( \alpha = \frac{180}{13} \approx 13.85^{\circ} \)

\( \beta = \frac{990}{13} \approx 76.15^{\circ} \)

\( \alpha < \beta \), значит \( \alpha \) — наименьший острый угол.

Ответ: 180/13.