5. Найти углы тупоугольного равнобедренного треугольника, если градусные меры двух из них относятся как 2: 5.

Решение:

В тупоугольном равнобедренном треугольнике больший угол (тупой) находится при вершине, напротив основания. Углы при основании равны и являются острыми.

Пусть углы треугольника равны \( \alpha, \alpha, \beta \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \), то есть \( 2\alpha + \beta = 180^{\circ} \).

Тупой угол — это \( \beta \), значит, \( \beta > 90^{\circ} \). Углы при основании \( \alpha \) острые, \( \alpha < 90^{\circ} \).

Возможны два случая соотношения углов:

Случай 1: Отношение углов при основании равно 2:5. То есть \( \alpha : \alpha = 2:5 \). Это возможно только если \( \alpha = 0 \), что невозможно.

Случай 2: Отношение одного из углов при основании к тупому углу равно 2:5. То есть \( \alpha : \beta = 2:5 \).

Пусть \( \alpha = 2x \) и \( \beta = 5x \).

Подставляем в уравнение суммы углов:

\( 2(2x) + 5x = 180^{\circ} \)

\( 4x + 5x = 180^{\circ} \)

\( 9x = 180^{\circ} \)

\( x = 20^{\circ} \).

Тогда углы равны:

\( \alpha = 2x = 2 \cdot 20^{\circ} = 40^{\circ} \)

\( \beta = 5x = 5 \cdot 20^{\circ} = 100^{\circ} \).

Получили углы \( 40^{\circ}, 40^{\circ}, 100^{\circ} \). Треугольник тупоугольный (есть угол \( 100^{\circ} \)) и равнобедренный (два угла по \( 40^{\circ} \)). Это соответствует условию.

Случай 3: Отношение тупого угла к одному из углов при основании равно 2:5. То есть \( \beta : \alpha = 2:5 \).

Пусть \( \beta = 2x \) и \( \alpha = 5x \).

Подставляем в уравнение суммы углов:

\( 2(5x) + 2x = 180^{\circ} \)

\( 10x + 2x = 180^{\circ} \)

\( 12x = 180^{\circ} \)

\( x = 15^{\circ} \).

Тогда углы равны:

\( \alpha = 5x = 5 \cdot 15^{\circ} = 75^{\circ} \)

\( \beta = 2x = 2 \cdot 15^{\circ} = 30^{\circ} \).

Получили углы \( 75^{\circ}, 75^{\circ}, 30^{\circ} \). Этот треугольник остроугольный, что противоречит условию.

Ответ: 40, 40, 100.