6. В некотором городе 1/5 часть семей, имеющих кошку, имеют и собаку, а 1/4 часть семей, имеющих собаку, имеют и кошку. При этом 1/2 часть всех семей в городе не имеют ни кошку, ни собаку. Какая часть семей в этом городе имеет и кошку и собаку?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначения. Пусть $$K$$ - множество семей, имеющих кошку, $$S$$ - множество семей, имеющих собаку. $$N$$ - общее количество семей в городе.
2. Шаг 2: Условия задачи.
   • $$|K ext{ и } S| / |K| = 1/5 ightarrow |K ext{ и } S| = |K|/5$$
   • $$|S ext{ и } K| / |S| = 1/4 ightarrow |S ext{ и } K| = |S|/4$$
   • $$| ext{ни } K, ext{ ни } S| / N = 1/2 ightarrow | ext{ни } K, ext{ ни } S| = N/2$$
3. Шаг 3: Связь с общим количеством. Количество семей, имеющих хотя бы одно животное: $$|K ext{ или } S| = N - | ext{ни } K, ext{ ни } S| = N - N/2 = N/2$$.
4. Шаг 4: Формула включения-исключения. Мы знаем, что $$|K ext{ или } S| = |K| + |S| - |K ext{ и } S|$$.
5. Шаг 5: Подстановка и преобразование. Подставим известные соотношения: $$N/2 = |K| + |S| - (|K|/5 ext{ или } |S|/4)$$.
6. Шаг 6: Поиск отношения. Обозначим $$|K| = xN$$ и $$|S| = yN$$. Тогда $$|K ext{ и } S|$$ будет зависеть от того, как мы определим его через $$x$$ и $$y$$.

Из условия $$|K ext{ и } S| = |K|/5$$ и $$|S ext{ и } K| = |S|/4$$. Так как $$|K ext{ и } S| = |S ext{ и } K|$$, то $$|K|/5 = |S|/4$$. Отсюда $$|K| = 5/4 * |S|$$.

Подставим это в формулу включения-исключения:

$$N/2 = |K| + |S| - |K|/5$$

$$N/2 = (5/4)|S| + |S| - (5/4)|S|/5$$

$$N/2 = (9/4)|S| - |S|/4$$

$$N/2 = (8/4)|S| = 2|S|$$.

Значит, $$|S| = N/4$$.

Теперь найдем $$|K|$$: $$|K| = 5/4 * |S| = 5/4 * (N/4) = 5N/16$$.

Наконец, найдем $$|K ext{ и } S|$$: $$|K ext{ и } S| = |K|/5 = (5N/16)/5 = N/16$$.

Ответ: 1/16 часть семей в этом городе имеет и кошку и собаку.