6. В группе 21 человек, среди них Юрий и Ирина. Группу случайным образом делят на две подгруппы: в первой 10 человек, во второй 11. Найдите вероятность того, что Юрий и Ирина окажутся в одной подгруппе.

Решение:

Всего в группе 21 человек. Группу делят на две подгруппы: 10 человек и 11 человек.

Способ 1: Через комбинации.

Общее число способов разделить 21 человека на две группы по 10 и 11 человек:

\[ N = C(21, 10) = \frac{21!}{10!(21-10)!} = \frac{21!}{10!11!} \]

Найдем число способов, при которых Юрий и Ирина окажутся в одной подгруппе:

1. Оба в первой подгруппе (10 человек): Нужно выбрать ещё 8 человек из оставшихся 19. Число способов: \( C(19, 8) = \frac{19!}{8!11!} \).

2. Оба во второй подгруппе (11 человек): Нужно выбрать ещё 9 человек из оставшихся 19. Число способов: \( C(19, 9) = \frac{19!}{9!10!} \).

Общее число благоприятных исходов:

\[ N_{благоприятные} = C(19, 8) + C(19, 9) \]

Вероятность:

\[ P = \frac{C(19, 8) + C(19, 9)}{C(21, 10)} = \frac{\frac{19!}{8!11!} + \frac{19!}{9!10!}}{\frac{21!}{10!11!}} = \frac{\frac{19!}{8!10!} (\frac{1}{11} + \frac{1}{9})}{\frac{21!}{10!11!}} = \frac{\frac{19!}{8!10!} \frac{10}{99}}{\frac{21!}{10!11!}} \]

Упростим:

\[ C(19, 8) = 75582 \]

\[ C(19, 9) = 92378 \]

\[ C(21, 10) = 352716 \]

\[ N_{благоприятные} = 75582 + 92378 = 167960 \]

\[ P = \frac{167960}{352716} \approx 0.476 \]

Способ 2: Через вероятность.

Рассмотрим Ирину. Она попала в какую-то подгруппу. Какова вероятность, что Юрий попадет в ту же подгруппу?

Если Ирина в первой подгруппе (10 человек), то для нее осталось 9 мест. Всего осталось 20 человек. Вероятность, что Юрий попадет в первую подгруппу = \( \frac{9}{20} \).

Если Ирина во второй подгруппе (11 человек), то для нее осталось 10 мест. Всего осталось 20 человек. Вероятность, что Юрий попадет во вторую подгруппу = \( \frac{10}{20} \) = \( \frac{1}{2} \).

Теперь учтем, что Ирина может попасть в первую или вторую подгруппу с определенной вероятностью:

Вероятность, что Ирина в первой подгруппе: \( P(\text{Ирина в 1-й}) = \frac{10}{21} \).

Вероятность, что Ирина во второй подгруппе: \( P(\text{Ирина во 2-й}) = \frac{11}{21} \).

Вероятность, что Юрий и Ирина в одной подгруппе:

\[ P = P(\text{Ирина в 1-й}) \times P(\text{Юрий в 1-й | Ирина в 1-й}) + P(\text{Ирина во 2-й}) \times P(\text{Юрий во 2-й | Ирина во 2-й}) \]

\[ P = \frac{10}{21} \times \frac{9}{20} + \frac{11}{21} \times \frac{10}{20} \]

\[ P = \frac{90}{420} + \frac{110}{420} = \frac{200}{420} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21} \]

Ответ: \( \frac{10}{21} \).